Misschien gebruik je “Meneer van Dalen wacht op antwoord”, of misschien zelfs PEMDAS. Misschien heb je geen ezelsbruggetjes nodig en doe je het intuïtief goed. Hoe dan ook heeft iedereen weleens zo’n ezelsbruggetje langs zien komen voor het onthouden van de volgorde van bewerkingen: een naam voor de verzameling afspraken over de volgorde waarin we rekenkundige bewerkingen toepassen. Maar waarom zijn deze afspraken nodig? En wie bepaalt er eigenlijk wie voorrang heeft?
Waarom?
Om het belang van deze afspraak duidelijk te maken bekijken we een voorbeeld. Neem de onderstaande rekensom
6 : 2 \times (2+1) = \ldots
Zonder afspraak zou de ene persoon het misschien fijn vinden om eerst 2 × (1+2) = 6 uit te rekenen, om daarna 6 door 6 te delen, en op een antwoord van 1 uit te komen. Aan de andere kant zou je er ook voor kunnen kiezen om eerst 6:2=3 uit te rekenen, en daarna 3 te vermenigvuldigen met (1+2) om zo op 9 uit te komen. Twee verschillende antwoorden voor dezelfde som. Natuurlijk hebben we in de wiskunde een hekel aan ambiguïteit, en willen we helemaal niet dat een simpele som twee uitkomsten kan hebben. Maar ook voor niet wiskundigen is deze onzekerheid vervelend. De twee manieren van uitrekenen betekenen ook in het echte leven heel iets anders. Als ik eerst mijn taart in 6 stukken snijd, deze stukken verdeel onder 2 mensen en dit drie keer herhaal, dan is dit een andere situatie dan als ik 2 maal 3 personen heb, en onder hen verdeel ik 6 stukken taart. Afspraken maken over de volgorde van bewerkingen is dus niet alleen fijn, maar zelfs noodzakelijk.
De Volgorde
Nu we weten waarom het belangrijk is om een volgorde af te spreken, willen we natuurlijk bepalen welke volgorde we met zijn allen gaan gebruiken. Willen we eerst vermenigvuldigen en dan delen, of andersom? Eerst optellen en dan aftrekken? Gelukkig hoeven we hier niet over na te denken, deze afspraken zijn al gemaakt. Op dit moment hanteren we de volgende afspraken:
1. Haakjes wegwerken
2. Machtsverheffen en Worteltrekken
3. Vermenigvuldigen en Delen
4. Optellen en Aftrekken
Dit lijkt wel een goede volgorde, maar als we nu terug gaan naar onze som van hierboven dan komen we onmiddelijk weer in de problemen. Want we weten dan vermenigvuldigen en delen voor optellen en aftrekken komt, maar hoe zit dat dan als we moeten kiezen tussen vermenigvuldigen en delen?
In dit geval kiezen we voor de meest linker operatie. We gaan dus door de rekensom heen zoals we een zin lezen, van links naar rechts. Nu kunnen we onze rekensom eindelijk oplossen, en op het correcte antwoord uitkomen:
6 : 2 \times (2+1) = 9
Geschiedenis
De oplettende lezer zal hebben opgemerkt dat in de vorige paragraaf staat dat we “op dit moment” deze afspraken hanteren. Deze woordkeuze is niet onopzettelijk, want deze afspraken hebben in het verleden alles behalve vastgestaan. Zo staat er in het boek Beginselen der stelkunst, voor de kadetten van alle wapenen uit 1838 het volgende:
Men heeft dus aan de bewerkingen boven elkander den voorrang gegeven in deze volgorde:
Magtsverheffing,
Vermenigvuldiging,
Deeling,
Worteltrekking,
Optelling en Aftrekking,
waardoor alle dubbelzinnigheid in het stelkunstige schrift is vermeden zonder dat daartoe een meer dan noodig getal haakjes is ingevoerd.((https://nl.wikisource.org/wiki/Badon_Ghijben/Beginselen_der_stelkunst/Volgorde_der_bewerkingen))
Veel mensen zullen zich deze regels herinneren door het bekende ezelsbruggetje Meneer Van Dalen Wacht Op Antwoord.
Hoewel er rond de jaren 60 internationaal overeenstemming over de volgorde van bewerkingen begon te komen dankzij de ontwikkeling van programmeertalen als Pascal, Fortran en C, bleef de Nederlander eigenwijs. Tot de 20e eeuw waren er nog schoolboeken te vinden die studenten de “oude” afspraken leerden.((W.H.H. van der Maaten, Sigma 5vA – VWO wiskunde A, 1990.))
De Obelus
Gaan we nog verder terug in de tijd, dan vinden we nog meer om over in de war te zijn. Er zijn door de jaren heen nogal wat tekens gebruikt om deling aan te geven. 4/2, 4:2 en 4÷2 geven allemaal hetzelfde antwoord, maar er is wel een subtiel verschil. Het laatste symbool wordt de obelus genoemd, en komt voor het eerst voor in een wiskundige tekst in het boek Teutsche Algebra van Johann H. Rahn uit 1659((https://books.google.co.uk/books?id=ZJg_AAAAcAAJ&printsec=frontcover&hl=nl#v=onepage&q&f=false)). Hij maakt op pagina 76 de volgende opmerking over het gebruik van het symbool
T \div GG + 1 = \dfrac{T}{GG + 1}
Betekent deling met de obelus dan iets anders dan met andere tekens? Niet perse. Hoewel Johann H. Rahn het duidelijk zo bedoelde, gebruikt hij geen ander teken voor deling in zijn boek. Hij maakt dus geen onderscheid tussen verschillende delingstekens, en dus was de bovenstaande definitie waarschijnlijk slechts een conventie die hij zelf hanteerde in zijn werk. Desalniettemin is het interessant om na te denken over de tekens en conventies die wij gebruiken en hun geschiedenis.
En nu?
Gelukkig zijn we het ook in Nederland inmiddels allemaal eens over de volgorde die we aanhouden. Toch zijn deze afspraken nog niet bij iedereen helder, zoals ook duidelijk te zien is op bijvoorbeeld facebook, waar dit soort plaatjes erg populair blijven.
Met onze rekenregels is dit een koud kunstje (Probeer zelf!). Namelijk, we gaan eerst delen en vermenigvuldigen. Dan blijft over
7 - 0 + 1 = 8
Helaas blijkt uit een kleine steekproef van classroomprofessor.com op facebook dat meer mensen op het foute antwoord uitkwamen dan op het goede. Zoals in de onderstaande grafiek te zien is komen een stuk meer mensen uit op een antwoord van 1. Ze komen hier natuurlijk op omdat ze links beginnen zonder de orde van operaties aan te houden. Ze trekken 1 van 7 af, en vermenigvuldigen het geheel met 0. Dan houden ze alleen 3 gedeeld door 3 over, wat natuurlijk 1 is. De fout is hier niet echt te leggen bij meneer van Dalen, zelfs met het bekende maar verouderde ezelsbruggetje zou je op het juiste antwoord uitkomen.
Helaas zien we dit soort fouten nog veel te veel, maar niet voor lang! Met onze cursus Foutloos Rekenen pakken wij rekenfouten aan waar ze beginnen, en met onze Cursus Wiskunde voor middelbare scholieren bouwen we samen aan een goed fundament zodat jij op wiskundig gebied stevig in je schoenen staat. Neem snel contact met ons op!